HAOLLA · BANGSAN HIGH · GRADE 10 · COMMON MATHEMATICS 2
2026 대비 · 공식 2025 2학기 중간고사 원안 + 정답/채점기준 기반
방산고 공통수학2
내용 기반 실전 출제포인트
“유형을 조심하라”가 아니라 실제 기출에서 어떤 수치·조건·연결이 점수를 갈랐는지를 다시 풀어낸 자료입니다. 특히 4.5~5.2점 선택형과 17점 서답형에서 필요한 결정적 식과 오답이 생기는 정확한 지점을 중심으로 정리했습니다.
실제 기출의 중심 축
| 축 | 실제 문항 | 내용상 핵심 |
|---|
| 좌표·직선·이동 | 1, 3, 5, 9, 10, 16 | 내분, 평행이동/대칭, 직선 사이 관계, 이동벡터 추적 |
| 원·접선·거리 | 2, 7, 8, 10, 13, 15, 17, 18 | 중심-직선 거리, 접선, 접점의 자취, 반사 최단거리 |
| 집합·경우의 수 | 4, 11, 12, 19, 서답1 | 여집합, 포함관계, 합 조건, 열린구간, 부분집합 수 |
| 도형 조건 결합 | 6, 14, 15, 16, 17 | 마름모 대각선, 넓이비, 반사, 내분, 정삼각형 |
가장 중요한 시험 DNA
단일 공식 1개로 끝내기보다, 조건 A로 미지수 하나를 고정한 뒤 조건 B를 결합하는 문제가 뒤로 갈수록 늘어납니다. “계산을 많이 하는가”보다 어떤 조건을 먼저 써야 하는가가 핵심입니다.
초반 점수 누수 방지
Q1 내분 2:1 → (1, 3)
Q2 중심 (2,-1), r=2 → (x-2)²+(y+1)²=4
Q3 이동 후 x축 대칭 → (1, 3)
후반 핵심 문항
Q12~19는 집합·접선·반사·자취가 연속으로 결합됩니다.
서답형은 결론보다 중간 식의 정확성이 직접 점수로 환산됩니다.
CORE 01 · LINE & CIRCLE
직선과 원: 실제 숫자로 다시 잡기
Q5 평행선 + 원점과의 거리
기준 직선: x + 2y + 3 = 0
평행 ⇒ a = 2
원점 거리 = |b|/√5 = 2√5 ⇒ |b| = 10
b>0 ⇒ b=10
a+b = 12
함정: 평행 조건으로 a를 먼저 고정하지 않고 거리식을 두 미지수로 끌고 가는 것. 거리 공식 분모는 √(1²+2²)=√5.
Q7 원-직선이 “서로 다른 두 점”에서 만남
x²+2x+y²-6y-10=0
⇒ (x+1)²+(y-3)²=20
중심 (-1,3), r=2√5
직선 y=2x+k → 2x-y+k=0
|k-5|/√5 < 2√5
⇒ |k-5| < 10
-5 < k < 15
정수 최솟값 -4, 최댓값 14 → 합 10
함정: 접하는 경우는 “두 점”이 아니므로 등호 제외. 끝값 -5,15를 넣으면 바로 오답.
Q8 교점 → 접선 → 절편 넓이
x²+y²=20, y=2x
⇒ P=(2,4)
원 x²+y²=20에서 P의 접선:
2x+4y=20 ⇒ x+2y=10
x절편 10, y절편 5 →
△OAB = 1/2 ×10×5 = 25
함정: 접선 기울기만 구한 뒤 절편을 잘못 잡는 것. 이 문제는 접선 방정식 x₁x+y₁y=r²를 바로 쓰는 편이 안정적.
Q10 포물선 이동이 원에도 그대로 적용
y=x²+2x=(x+1)²-1
y=x²-4x+5=(x-2)²+1
꼭짓점 (-1,-1) → (2,1), 따라서 이동벡터 (+3,+2).
원 C: 중심 (0,0), r=1 → C′: 중심 (3,2), r=1.
선 y=mx+4와 중심 거리 1
|3m+2|/√(m²+1)=1
⇒ 8m²+12m+3=0
두 m의 합 = -12/8 = -3/2
이 페이지에서 반드시 남겨야 할 것
“두 점 교차”는 d<r, “접함”은 d=r. 그리고 도형의 평행이동은 방정식을 새로 외우는 게 아니라 중심·꼭짓점 이동벡터를 그대로 다른 도형에 복사합니다.
CORE 02 · COORDINATE GEOMETRY
마름모·이동·넓이비: 조건을 쓰는 순서
Q6 마름모 ABCD - “대각선” 두 성질을 동시에 사용
A(1,-2), B(2,a), C(7,b), D(c,3), AC가 대각선.
① 대각선은 서로를 이등분
M_AC = (4,(b-2)/2)
M_BD = ((2+c)/2,(a+3)/2)
⇒ c=6, b=a+5
② 대각선은 서로 수직
slope AC=(a+7)/6
slope BD=(3-a)/4
곱 = -1
⇒ a=5 (양수), b=10, c=6
a+b+c = 21
함정: “마름모니까 네 변 길이가 같다”만 밀어붙이면 계산이 길어집니다. 이 문제의 설계는 이등분 → 수직 순서가 가장 짧습니다.
Q9 직선 이동 + y축 대칭
원래 l: x + ay + b = 0.
(+5,-1) 평행이동 후
x + ay + (a+b-5)=0
그 뒤 y축 대칭:
-x + ay + (a+b-5)=0
l′ ⟂ y=2x-3 → slope(l′)=-1/2 → a=-2.
두 직선은 y축 위에서 만남 → 교점 (0,-3).
-3a + a+b-5=0 ⇒ b=1
b-a = 3
Q14 넓이 조건이 먼저, 원 넓이비가 다음
P(0,4), Q(a,4-a), R(b,4-b), 모두 y=-x+4 위.
△OPR 넓이 = 2b = 6 ⇒ b=3
PQ와 QR를 지름으로 하는 두 원의 넓이비 4:1.
PQ=a√2, QR=(3-a)√2
원 넓이비 = a²:(3-a)² = 4:1
0<a<3 → a/(3-a)=2 → a=2
a+b = 5
함정: 원의 넓이비를 지름비 4:1로 읽으면 안 됩니다. 길이비는 2:1.
조건 사용 순서가 답의 절반
Q6은 “이등분 → 수직”, Q14는 “삼각형 넓이 → 원 넓이비”. 방산고 후반부는 조건을 동시에 다루기보다 한 조건으로 변수 하나를 확정한 뒤 다음 조건으로 넘어가게 설계돼 있습니다.
CORE 03 · SETS & COUNTING
집합: 기호가 아니라 실제 원소를 끝까지 적는다
Q4 서로 다른 표기가 같은 집합
어두운 부분이 A-B라면 다음은 모두 같은 표현입니다.
A-B = A∩Bᶜ = (A∪B)-B = A-(A∩B)
반면 A∪U = U.
“어두운 부분이 아닌 것” → ①
함정: 식 모양이 다르면 다른 집합이라고 느끼는 것. 시험 전 A-B의 동치표현은 즉시 변환돼야 합니다.
Q11 등차수열 개수 - 교집합을 빼는 문제
100 미만, 7로 나눈 나머지가 3:
3,10,17,...,94 → 14개
그중 4의 배수:
24,52,80 → 3개
14-3 = 11개
함정: 먼저 “4의 배수가 아님”까지 한 번에 세려다 누락. 큰 집합 개수에서 교집합을 빼는 구조가 안전합니다.
Q12 원소 합 조건으로 B를 먼저 확정
U={1,2,4,8,16,32}, 전체 합은 63.
sum(Bᶜ)=2·sum(B)
63=3·sum(B) ⇒ sum(B)=21
또 1∈B. 나머지 20을 만드는 방법은 4+16.
B={1,4,16}
Bᶜ={2,8,32}
A는 1을 포함할 수 없고, A∪B는 U의 진부분집합이어야 하므로 Bᶜ에서 최소 하나는 A에서도 빼야 합니다. 최대합을 위해 가장 작은 2를 제외.
A 최대 = 4+8+16+32 = 60
Q19 |x-k| 조건을 “구간 두 조각”으로 보기
Aₖ={x | 0<|x-k|<1}
= (k-1,k) ∪ (k,k+1)
ㄱ A₄와 A₆은 x=5에서 닿는 것처럼 보이지만 5는 양쪽 모두 제외 → 거짓.
ㄴ A₂∪A₅∪A₈은 A₁~A₉ 각각과 적어도 한 구간에서 겹침 → 참.
ㄷ 인접 교집합 두 조각을 합치면 정확히 Aₘ₊₁ → 참.
ㄴ, ㄷ → ④
집합에서 상위권이 틀리는 지점
“기호를 이해했다”에서 멈추지 말고, Q12처럼 실제 원소를 적고 합을 계산하거나 Q19처럼 구간을 직접 펼쳐서 끝점 포함 여부까지 보세요.
CORE 04 · TANGENCY & REFLECTION
접점 합과 최단거리: 개별 좌표 대신 구조를 이용
Q13 두 접점을 직접 구하지 말고 “접촉현”을 만든다
점 (7,-1)에서 원 x²+y²=5에 그은 두 접점 A, B.
외부점 (x₁,y₁)에서 원 x²+y²=r²에 대한 접촉현은 x x₁ + y y₁ = r².
7x - y = 5 ⇒ y=7x-5
원과 연립:
x²+(7x-5)²=5
⇒ 5x²-7x+2=0
x좌표 합 = 7/5. y좌표 합 = 7·(7/5)-10 = -1/5.
x₁+x₂+y₁+y₂ = 6/5
함정: A, B를 하나씩 구하면 제곱근 계산이 길어집니다. “합”을 물으면 근과 계수 관계가 출제자의 의도.
Q15 두 번 반사 + 양끝 원의 반지름 차감
C₁ 중심 O₁=(8,7), r₁=1/2. C₂는 완전제곱하면 중심 O₂=(2,-4), r₂=1.
최소화 대상: AD + DC + CB, D는 y=x, C는 y축 위.
① 반사
O₁을 y=x에 대칭 → O₁′=(7,8)
O₂를 y축에 대칭 → O₂′=(-2,-4)
② 직선거리
|O₁′O₂′| = √(9²+12²)=15
양 끝 A,B는 원 위이므로 반지름 합 1/2+1=3/2를 뺌.
min(AD+DC+CB)=15-3/2=27/2
문제는 2(AD+DC+CB) → 27
CORE 05 · MULTI-CONDITION GEOMETRY
Q16: 조건을 좌표로 하나씩 고정하는 전형
① 평행 조건으로 m 즉시 결정
l: y=mx, l′: y=3x-16, l∥l′ → m=3. 따라서 접점 R=(1,3).
② 중심 A는 접선 l의 수선 위
l의 기울기 3 → AR의 기울기 -1/3.
AR: y-3 = -(1/3)(x-1)
이 직선과 l′의 교점:
S=(29/5, 7/5)
③ A가 RS를 5:3 내분
A=(3R+5S)/8
A=(4,2)
따라서 반지름 AR=√10.
④ l′이 원을 자르는 두 점 중 P는 제1사분면
A에서 l′까지의 수선 발은 S이고, AS=6/√10.
반현 길이 = √(r²-AS²)
= √(10-36/10)=8/√10
l′ 방향벡터 (1,3)을 이용하면 두 교점 중 제1사분면의 점:
P=(33/5, 19/5)
⑤ AP와 l의 교점 T
AP 기울기:
(19/5-2)/(33/5-4)=9/13
AP와 y=3x 연립:
T=(-1/3,-1)
⑥ 마지막은 행렬식 넓이
A(4,2), R(1,3), T(-1/3,-1)
2·Area = |det(R-A, T-A)|
= 40/3
△ART = 20/3 → ⑤
이 문제의 실제 핵심
어려워 보이는 이유는 변수가 많아서가 아니라 R → S → A → P → T를 한 번에 보려 하기 때문입니다. 방산고식 복합좌표 문제는 좌표를 하나씩 확정하는 순서가 보이면 계산량이 급격히 줄어듭니다.
CORE 06 · LOCUS
Q17·Q18: “움직이는 점”을 자취로 바꾸면 끝난다
Q17 접점 P의 자취 = 지름이 CE인 원
원 중심 C=(4,2). 접선족 y=kx+2k-6은 k와 무관하게 항상 E=(-2,-6)을 지납니다.
접점 P에서 CP ⟂ EP이므로 ∠CPE=90°. 따라서 P는 CE를 지름으로 하는 원 위.
CE 길이 = 10
자취원의 중심 M=(1,-2)
반지름 = 5
정삼각형 ABP의 밑변 AB는
y=(3/4)x+6 위
점 P에서 이 직선까지 거리 = d
고정 직선 3x-4y+24=0과 M의 거리:
|3·1 -4·(-2)+24|/5 = 7
P가 자취원 위에서 직선과 가장 멀리 갈 때 d_max=7+5=12.
정삼각형에서 높이 d=(√3/2)s → 넓이 = d²/√3.
최대 넓이 = 144/√3 = 48√3 → ③
Q18 번역 후 양 축에 동시에 접함 → 중심이 놓일 세 직선
반지름 1인 원의 원래 중심을 (h,v)라 하자. (m,m+1)만큼 이동 후 x축·y축에 동시에 접하려면
|h+m|=1, |v+m+1|=1
두 식의 부호 조합을 빼면:
v-h ∈ {-3, -1, 1}
즉 원 C: h²+(v-k)²=2와 세 평행선 v-h=-3,-1,1의 교점 개수를 세는 문제.
| 정수 k | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 |
|---|
| 가능 중심 수 | 3 | 4 | 4 | 4 | 3 |
최대 4개를 만드는 k는 -2,-1,0 → 정수 k의 개수 3 → ②
함정: 이동량 m을 직접 풀려고 하면 경우가 흩어집니다. m을 제거해 중심의 자취 직선 세 개로 바꾸는 게 핵심.
WRITTEN RESPONSE 01
서답형 1·2: 점수표가 요구한 “중간 결과”까지 적기
서답형 1 · 집합 X의 포함관계와 개수 [5점]
조건: A∩X=X, Bᶜ∩X=∅.
(1) 포함관계 [2점]
A∩X=X ⇒ X⊂A
Bᶜ∩X=∅ ⇒ X⊂B
각 관계를 정확히 쓰는 것이 각각 1점.
(2) X의 개수 [3점]
A∩B={6,12,18,24,36,72}
원소 수 = 6
X는 이 6개 원소의 임의의 부분집합 → 2⁶=64개
실전 감점 포인트: “64개”만 쓰고 A∩B의 실제 원소 6개를 밝히지 않으면 채점기준상 중간 점수 근거가 사라집니다.
서답형 2 · 같은 넓이의 두 삼각형 [6점]
O(0,0), A(4,2), B(2,-2), C(a,2), 0≤a≤4.
(1) a [3점]
Area(OAB)=1/2·|4(-2)-2·2|=6
AC=4-a, 높이=4.
1/2·4·(4-a)=6 ⇒ a=1
C=(1,2)
(2) 직선 BC [3점]
slope BC=(-2-2)/(2-1)=-4
y-2=-4(x-1)
y=-4x+6
공식 채점표는 (1)에 대해 평행을 이용한 풀이, 넓이 직접 계산, 점-직선 거리 이용 등 여러 풀이를 인정하지만, 각 경우에도 핵심 중간식이 배점 단위로 분리돼 있습니다.
서답형 공통 규칙
공식 채점기준에는 풀이 중간 모순과 표기 오류가 각각 0.5점 감점이라고 명시돼 있습니다. 답이 맞더라도 기호가 뒤집히거나 중간식이 모순되면 실제 감점이 발생할 수 있습니다.
WRITTEN RESPONSE 02
서답형 3: 마지막 6점은 “세 점의 구조”를 읽는 문제
조건을 도형으로 번역
원의 중심은 y=x²+k 위에 있고, 반지름 r인 원이 x축에 접함.
중심 (x,y)에서 x축까지 거리가 r이므로 |y|=r. 동시에 y=x²+k.
중심이 정확히 3개가 되려면 y=r에서 2개, y=-r에서 1개가 생기는 구조가 되어야 하므로
k=-r
(1) r, k [4점]
세 중심:
(-√(2r), r), (√(2r), r), (0,-r)
위 두 점 사이 밑변 = 2√(2r), 높이 = 2r.
Area = 1/2·2√(2r)·2r
= 2r√(2r)=16√2
⇒ r=4, 따라서 k=-4.
(2) 두 접선 기울기의 곱 [2점]
꼭짓점 V=(0,-4), 왼쪽 원 중심 C=(-2√2,4), 반지름 4.
V를 지나는 접선 y=mx-4.
dist(C, y=mx-4)=4
|-2√2 m - 8|/√(m²+1)=4
m² - 4√2 m - 6 = 0
근과 계수 관계 → 두 기울기의 곱 -6
공식 배점이 실제로 쪼개진 지점
| 중간 결과 | 배점 의미 |
|---|
| k=-r | 3개의 중심이 생기는 구조를 읽었다는 증거 |
| 삼각형 넓이를 r에 관한 식으로 표현 | 좌표를 정확히 만들었다는 증거 |
| r=4, k=-4 | 각각 독립 배점 |
| 접선-중심 거리식 | 기울기 방정식 전 단계 자체가 배점 |
| m의 이차방정식 → 곱 -6 | 마지막 1점 |
이 문제를 외울 것이 아니라 구조를 기억
“x축에 접하는 원의 중심” → y좌표가 ±r. “중심이 3개” → 포물선과 두 수평선의 교점 개수. 이 연결이 보이면 다음 시험에서 숫자가 바뀌어도 그대로 풀립니다.
FINAL CHECK · 5 MINUTES
시험 직전, 이것만 재구성할 수 있으면 된다
원·직선
- Q7: 중심 (-1,3), r=2√5 → |k-5|<10
- Q8: P=(2,4), 접선 x+2y=10, 넓이 25
- Q10: 포물선 이동벡터 (3,2), m의 합 -3/2
- Q13: 접촉현 7x-y=5, 좌표합 6/5
좌표·도형
- Q6: 마름모는 대각선 이등분 + 수직 → 21
- Q9: 이동 후 대칭에서 식의 부호 순서 → b-a=3
- Q14: b=3 먼저, 넓이비에서 a=2 → 5
- Q15: 두 번 반사 거리 15, 반지름 1.5 차감 → 27
집합
- Q4: A-B 동치표현 4개를 즉시 변환
- Q11: 14개에서 4의 배수 3개 제외 → 11
- Q12: B={1,4,16}, Bᶜ={2,8,32}, A 최대합 60
- Q19: Aₖ=(k-1,k)∪(k,k+1), 정답 ㄴ·ㄷ
복합·자취
- Q16: R→S→A→P→T 순서, 최종 20/3
- Q17: 고정점 E=(-2,-6), 접점 자취 원 → 48√3
- Q18: 중심 조건 v-h=-3,-1,1, k=-2,-1,0 → 3개
서답형은 답보다 “배점 가능한 문장”
포함관계, 교집합 원소, 넓이식, 기울기, 거리식처럼 채점표가 점수를 주는 중간 결과를 한 줄씩 남기세요. 방산고 공식 기준은 중간 모순·표기 오류에 각각 0.5점 감점을 명시하고 있습니다.
하올라식 마지막 점검
1조건을 한 줄씩 분리하고, 가장 먼저 변수 하나를 고정할 조건을 찾는다.
2원 문제는 중심·반지름·중심-직선 거리를 먼저 표시한다.
3집합은 기호만 보지 말고 실제 원소·구간으로 바꾼다.
4복합 도형은 한 번에 풀지 말고 좌표를 한 점씩 확정한다.
5서답형은 최종답 전까지 배점 가능한 중간식을 지우지 않는다.
분석 근거: 2025학년도 방산고등학교 1학년 2학기 중간고사 공통수학2 원안, 선택형 정답/배점표, 서답형 채점기준표. 2026 대비용으로 학교의 실제 출제 구조와 계산 함정을 재구성했습니다.